我们提出了一种变分方法，采用广义的虚功原理来估计在重塑过程中活骨组织的机械响应和变化。这种方法为在正交各向异性材料对称的情况下骨子结构的自适应调节提供了一种解释。我们特别关注骨组织作为结构材料的关键逐步调整，以适应其机械特性，如材料刚度和微观结构，以响应不断变化的加载条件。我们假设进化过程依赖于一个涉及多个刺激信号的反馈机制。骨组织的力学和重塑行为显然是一个复杂的过程，很难在经典连续体理论的框架内描述。由于这个原因，一个广义连续介质弹性理论被用来作为一个适当的数学背景，以充分描述所研究的现象。为了简化调查，我们考虑一个二维问题。数值模拟已经进行，以说明骨的演变在几个重要的情况下:弯曲的矩形悬臂板和三点弯曲试验。结果令人鼓舞，因为它们可以复制在骨重塑中观察到的优化过程。该模型提供了一种可能的刚度分布，并准确地表示了由正交各向异性对称方向宏观描述的小梁排列，得到了轨迹理论的实验证据的支持。
沃尔夫定律陈述涉及“骨功能适应”对机械负荷的概念。这是一个众所周知的原理，以德国解剖学家和外科医生Julius Wolff的名字命名，该原理指出，骨的微观力学形态特性主要是，尽管不是完全，骨对机械变形的反应的结果(Wolff 1892)。更具体地说，该定律断言，随着时间的推移，骨骼会根据施加在它身上的机械负荷进行自我重塑，在承受更大压力的部位变得更致密、更强壮，而在承受较小压力的部位变得更弱、更容易骨折。沃尔夫定律对骨质疏松症等疾病的预防和治疗具有重要意义，因为负重运动和其他形式的体育活动可以帮助保持骨密度，降低骨折的风险。此外，特定的牙科治疗利用沃尔夫定律来增强牙弓内牙齿的排列(Cornelis et al. 2021)。骨髓炎附近的骨重塑(Masters et al. 2019)受影响的骨在疾病发展期间和手术治疗后也可能受到局部负荷环境变化的影响(Lamm et al. 2015)。
这种重塑过程是由三种类型的骨细胞(破骨细胞、成骨细胞和骨细胞)的协同作用保证的，它们在骨组织的生长、维持和修复中具有不同的功能。破骨细胞是一种巨大的多核细胞，通过吸收过程分解矿物组织。它们负责清除老化、受损的骨组织，并将钙和其他矿物质释放到血液中。成骨细胞是通过骨化过程合成并沉积新骨组织的细胞。它们分泌胶原蛋白和其他蛋白质，形成新骨组织的框架，也有助于用羟基磷灰石(即磷酸钙矿物)矿化骨基质。成骨细胞负责骨组织的生长和修复，并在维持骨密度和强度方面发挥关键作用。骨细胞是成熟的骨细胞，由成骨细胞分化而来，埋在骨组织的矿化基质中，埋在称为腔隙的微小空间中。它们在调节骨代谢和对施加在骨骼上的机械应力作出反应方面起着至关重要的作用，这一过程被称为机械转导。骨细胞是一种传感细胞，通过长而分支的树突结构相互连接，并与骨表面相连，树突结构位于腔隙之间错综复杂的管状网络中，称为小管，充满间质(骨膜细胞)液体。它们与其他骨细胞沟通，协调骨重塑和修复。所有这些细胞的活动对于维持骨吸收和骨形成之间的平衡以及确保骨组织不断更新、替换并适应其机械任务至关重要。
骨细胞的活动导致了人体中两种骨组织的构成和持续形成:皮质骨和小梁骨。它们有不同的特点，服务于不同的功能。皮质骨，也被称为致密骨，是一种密度更大、抵抗力更强的外层骨，构成了长骨的骨轴，比如股骨。它由紧密堆积的矿化胶原纤维层组成，负责为身体和重要器官提供结构支持和保护。它们形成圆柱形的亚结构，称为骨子。皮质骨由于其力学性能和空间分布，相对抵抗弯曲和扭转力，非常适合负重活动。小梁骨，也被称为海绵状骨或松质骨，是一种较轻、密度较低的骨组织，位于长骨的末端和短骨的内部。它是由称为骨小梁的骨支柱网络组成的，骨小梁为骨骼提供支撑，并帮助分配重量和压力。小梁骨更柔顺，能更好地承受压缩力，使其成为人体减震系统的重要组成部分，同时考虑到它充满了具有阻尼特性的骨髓。这两种类型的骨组织对于维持整体骨骼健康和功能都很重要(Giorgio et al. 2021)。
最重要的是，骨组织的结构在为身体提供力量和支持与最大限度地减少营养成本和活细胞所需能量之间保持着微妙的平衡(Bednarczyk和Lekszycki 2016, 2022)。通过调整骨量的分布并将其微观结构安排在一个有效的复合结构中，骨组织能够实现这种平衡，并随着时间的推移保持其功能和完整性。骨达到这种平衡是为了响应由它所承受的外部载荷引起的机械应变。这意味着承受更大压力的部位，比如腿上承重的骨头，会比承受较小压力的部位，比如手指上的骨头，有更大的质量密度。这可以通过改变小梁的直径和数量来实现(Zhao et al. 2018)。此外，骨骼还可以通过重新排列其微观结构来实现有效的复合结构，从而在最大限度地提高强度的同时减少重量，特别是根据施加外力的方向重新定向小梁的模式(Kivell 2016)。
通常，为了解释骨组织内部微结构的重新定向，采用了所谓的轨迹理论(Lanyon 1974)，该理论假设主应力是决定骨小梁组织结构的主要因素之一。更准确地说，观察到松质微观结构的方向倾向于与应力特征向量对齐。观察到的这种排列差异主要是由于在不同情况下实际施加于骨组织的不同种类的外部载荷:每种载荷显然决定了主应力的不同方向。因此，有效的小梁取向必须被认为是在系统“骨结构”功能过程中施加的几个机械载荷产生的加权平均结果。
从建模的角度来看，骨重塑可以被视为控制理论框架中的反馈现象(Frost 1987;特纳1991)。在这一生物过程中，刚度张量和材料强度可视为可控量。这样，就建立了一个控制回路，在一个设定值上调节这些变量，即所谓的稳态。为此，改变骨量和骨量的分布以保证骨组织的最佳功能。实际上，根据外界对机械阻力的要求，活性骨细胞，即过程致动器，可以根据负责感知组织机械状态的骨细胞提供的信息，吸收或合成骨组织。为了解释这一生物过程，早期尝试引入表观质量密度(骨组织是一种多孔材料)的进化方程，该方程依赖于机械反馈信号(beauprav et al. 1990;Mullender and Huiskes 1995)。这是因为骨密度与其硬度直接相关;因此，质量密度的任何变化也会改变弹性模量。根据经验证据，表观质量密度和刚度之间的关系已经从现象学上引入(Carter和Hayes 1976;Currey 1988)。因此，质量密度的变化也导致弹性模量的适应性进化，从而优化骨的机械响应。这种方法特别适用于所考虑组织的各向同性行为，因为表观质量密度是一个标量，因此，并不直接意味着与小梁微观结构的重新定向有关的任何机械性能。因此，包含质量密度演化的初始模型主要用于各向同性材料。
因此，为了考虑到重定向演化，有人提出刚度张量通过重塑张量的直接演化，在这种情况下，重塑张量与表观质量密度和织物张量等变量相关，这些变量与小梁的孔隙度和方向性错综复杂地联系在一起(Cowin et al. 1992;doblar
反馈信号通常使用机械刺激进行评估，该机械刺激传达了被认为与所采用的特定公式相关的机械状态信息。这种机械状态可以通过应变能密度(Huiskes et al. 1987)、有效应力(Carter et al. 1987;beaupraud et al. 1990)、应变峰值(Turner 1998)或损伤变量(Prendergast and Taylor 1994;Hambli 2014)，仅举几例。有两种类型的刺激公式:局部和非局部。局部模型不直接考虑邻近点的力学状态，而是将演化规律单独应用于物体的每个点。相反，非局部模型提供了身体中每个点的演变，包括来自该点和指定有限周围材料体积中的其他点的数据。非局部模型基于卷积积分(Lekszycki and dell 'Isola 2012;Kumar et al. 2011;George et al. 2018, 2019)或扩散方程(Giorgio et al. 2019;Scerrato et al. 2022)，并保证描述骨组织与生物可吸收材料移植物之间或健康骨骼与坏死组织(其中骨细胞可能死亡)之间相互作用的可能性。这种相互作用被阻止在局部模型中发生，因为没有骨细胞的地方不能产生刺激。相反，在非局部效应下，来自周围区域的刺激可以到达没有骨细胞的区域，并触发重塑过程，正如事实所发生的那样。
骨组织的特点是具有多层次复杂性的杂色结构。因此，传统的连续介质弹性理论不能准确地描述它在不同情况下的复杂力学。因此，采用广义连续统理论可以更准确、更有效地模拟真实组织的行为。骨骼力学性能的高对比度可能导致使用第二梯度模型，该模型可以在变形模式和边界条件方面代表更丰富的行为(Fedele 2022;dell 'Isola et al. 2022;Solyaev et al. 2020;Vazic等。2021,2024;Sarar et al. 2024;Carter et al. 1987;Andres et al. 2001)。严格相关的模型是那些处理纤维增强复合材料的模型(Steigmann 2012;Franciosi et al. 2019;Spagnuolo 2022)，因为组织的矿化始于新编织骨中的胶原纤维网络。
精细化描述骨组织的另一个重要方面是孔隙度。考虑到这方面的模型可以解释由于固体基质与粘性流体(即骨髓、间质液和血液)之间的相互作用而引起的内部孔隙压力和可能的耗散现象。耗散可以用现象学定律引入，如Jankowski et al. 2022;Sessa 2024)，或者更根本地说，使用Rayleigh函数(Giorgio et al. 2016)。由于骨组织中存在各种类型的孔隙度，因此可以使用具有双倍甚至更高孔隙度的模型(参见，例如，De Cicco和De Angelis 2020;De Cicco 2022)。当然，可以使用更复杂的模型，例如带有纤维增强和潜在流体包裹体的孔隙弹性材料，来准确地描述骨骼的力学行为(Tomic et al. 2014;Grillo et al. 2015, 2018;Cuomo等人，2022;Gazzo et al. 2020)。
骨样本的实验证据揭示了与微观结构相关的非经典效应(Park and Lakes 1986)。这种奇特的行为可以在微极理论的背景下考虑(参见，例如，Eremeyev和Pietraszkiewicz 2012, 2016;Eremeyev et al. 2017,2020;La Valle 2022)。
变分公式的实现代表了一种优雅而有效的方法来理解骨微结构的进化与控制其行为的潜在物理定律之间的关系。这种技术被证明在解决复杂问题时特别有利，例如在研究骨骼和生长现象时遇到的问题(Grillo和Di Stefano 2024;格里洛和迪·斯蒂法诺2024)。这种强大的方法也可用于解决具有挑战性的问题，例如涉及损伤的问题，这些问题与骨组织的进化有着内在的联系(Placidi et al. 2018,2018,2019;Timofeev et al. 2021;De Angelis 2007)。许多作者将骨组织重塑解释为一个复杂的优化问题，其中质量和刚度的局部特性被视为必须平衡的冲突目标。从这个角度来看，再一次，变分工具为我们提供了一个强大的兵工厂，以获得骨组织底层的优化亚结构(参见，作为一般参考Bendsoe和Sigmund 2003;Eschenauer and Olhoff 2001，以及作为更具体的应用于骨骼的Nowak 2010, 2020)。
在本文中，我们提出了一种可能的方法，以纳入在宏观观察水平上的弹性连续体情景中骨组织小梁微结构重新定向的基本方面。假定材料的行为是正位的。通过广义虚功的定义，从变分的角度推导了变形过程的控制方程，同时考虑了力学响应和小梁微观结构的演变。作为反馈信号用于指导过程的刺激是在能量基础上定义的，并且具有依赖于扩散方程的非局部公式。
正如在标准连续介质力学中发生的那样，任何粒子在当前构型中所占据的位置由位置图给出，其中是欧几里得三维仿射空间，
（1）其中，参考构型中的材料粒子在域中表示为。
为了描述骨组织作为具有正交各向异性材料对称性的连续体的生物力学行为，我们在每个材料点和每个时刻引入了材料对称旋转
同样地，我们可以考虑三个时变正交单位向量
的位移空间中的标准正交基。此外，我们假设骨组织结合的生物体具有由适当刺激激活的骨组织控制系统，这些刺激作为组织机械状态的响应而产生，并决定其生产和吸附。
因此，为了模拟骨组织的生物力学演化，我们使用以下运动学描述符列表:
- 1.
位移场，表示为
- 2.
在欧拉基中表示旋转的角度，
- 3.
表征正交各向异性二次弹性能的材料参数集
- 4.
引导重塑过程所需要的一系列刺激。
这里的精神是考虑一个广义连续统理论，在这个理论中，系统的整体演化是由标准描述符给出的，即位置或位移，以及进一步的描述符，这些描述符指定了组织的机械特性和基于信息刺激生产的生物机械转导过程。
让我们用指定方向的变量来表示，用整个弹性模量来表示，最后用矢量来表示，矢量的分量代表生物机械刺激，每个分量都与每个模量相关联。
在本模型中，变形量是用变形梯度张量，特别是线性化应变张量来表示的
（2）由于系统的复杂性，我们目前将我们的进一步发展限制在考虑到二维域的特殊重要情况下。有趣的结果，我们相信已经获得将激励开发一个完整的3D模型。在二维进化的情况下，由于只有一个角度足以表征定义小梁亚结构的进化重定向的方向，我们可以进行如下操作。引入了与的极分解有关的宏观旋转
（3）其中，旋转在二维问题中以一个角度为特征，并给出了变形。然后，假设与小梁相关的微观结构可以用角度来表示，例如，给出的取向，我们可以引入相对角度
（4）它表示由于外部载荷的作用，材料对称方向与同一位置的无限小材料立方体的当前方向之间的不对齐度量。
对于独立虚位移、虚梯度、参数虚变化，假设了广义虚功原理，如下:
（5）(5)中的第一行代表存储应变能给出的力学贡献，即，考虑第二梯度材料后，单位线牵引和双力密度所做的外部虚功(Madeo等，2012;Giorgio et al. 2017;Ganghoffer et al. 2019)。后两个贡献与机械响应驱动的机械生物进化有关。其中，我们可以将和解释为重塑对，其中和分别是与演化的时间速率和演化的本构参数。此外，它可以被认为是一种重塑行为，在材料参数上进行机械生物学工作。与前一项类似，是与弹性模量演化的时间速率相关的本构参数，是与演化相关的生物势。值得注意的是，(5)最后一项中与重塑行为相关的弱贡献产生了一个与Giorgio et al.(2019)中Eq.(5)中使用的进化项非常相似的进化项。
该模型的关键思想是将总生物力学功定义为两个贡献的总和:1)第一个贡献能够表征骨的机械响应，2)第二个贡献用于确定组织内部结构的演变，同时考虑子结构的方向和刚度。由于涉及骨组织的复杂现象是在多层次的时间尺度上发展的，并且重塑过程发生得非常缓慢，因此在此，我们忽略了与骨力学相关的快速动力学，假设与机械载荷应用相关的最快变化与缓慢的重塑过程之间存在明显的时间尺度分离。为此，我们考虑载荷随时间缓慢变化，因此忽略了惯性现象。
更具体地说，我们可以介绍能源(Cyron and Aydin 2017;DiCarlo and Quiligotti, 2002):
（6）其中是标准的正交各向异性第二梯度机械变形能，是力学-生物学术语，它捕获了生物诱导的骨亚结构变化，因此，代表了组织在重塑过程中的无应力配置。
为了描述骨组织的力学响应，我们以正交各向异性材料的本构方程为出发点。对于应变能密度，本文采用伽利略不变函数:
（7）其中，为简单起见，我们考虑两个加性项:一个与第一个梯度行为有关，另一个与第二个梯度行为有关。特别地，第一个梯度贡献可以专门化为
（8）其中，，，，，和为线弹性中表征材料对称性的不变量，定义如下:
（9）在小变形情况下，(8)给出的应变能在位移场中为二阶依赖，因此，具有材料正交各向异性对称性的函数为(Spencer 1982, 1984, Spencer and Soldatos 2007)。
（10）式中，K，，，，和为材料系数，为耦合系数。我们注意到(10)中的前两项与流体静力和偏差对变形各向同性部分的贡献有关。在这里，所有的材料参数可能是不均匀的。
参考配置中的物质方向与小梁模式及其在股骨截面张量下的图像对齐
为了完成弹性存储能量的定义，我们还假设了第二个梯度贡献。我们假设这种对储存能量的进一步贡献的原因必须归因于骨的小梁亚结构。事实上，在质量密度非常低的区域，我们可以假设小梁非常薄且长，连接薄弱，这可能意味着在宏观层面上需要第二次梯度模型(Giorgio et al. 2017;Abdoul-Anziz and Seppecher 2018;Abdoul-Anziz et al. 2019;dell 'Isola et al. 2022)。这通常发生在受最小变形(即，高孔隙率)的区域或骨质疏松症等疾病的情况下。在这种特殊情况下，涉及具有正交各向异性对称的二次梯度效应的简单能量函数为(Steigmann and dell 'Isola 2015, Giorgio et al. 2016)。
（11）式中和为二阶梯度模，符号“，”表示偏微分。考虑分解，二阶梯度贡献可分为切向拉伸梯度和曲率部分:
（12）式中(无求和约定)，为小梁上变形引起的测地线曲率(Shirani and Steigmann 2020)(见图1等)。通过分解(12)，假设第2梯度能量密度为
（13）明确了切向拉伸梯度效应和弯曲变形的术语。对刚度也可以进行相同的分割，因此切向拉伸梯度刚度和弯曲刚度分别为和。
负责重塑的机械-生物能量密度被认为是几种贡献的总和。特别地，一个是与正交各向异性对称方向的重新定向有关(这与小梁子结构的方向有关)，所有其他聚集在一起的都与表征力学响应的材料刚度的演变有关。因此，我们有:
（14）通过将存储应变能指定为(10)和(11)，我们可以将其专门化为。
根据定义(4)，我们假设
（15）其中是与该过程中可以存储的能量水平相关的机械生物学参数。
值得一提的是，在更一般的情况下，角度可以用旋转来代替，相对角度可以近似地用
（16）由于变形张量趋向于小变形区。脚注1因此，我们有
(17)在力学-生物过程中，在不同取向之间的转换过程中，随着时间的推移会发生一定的能量耗散;因此，我们也定义了一个瑞利耗散函数来考虑这方面，即
(18）式中为一种“粘性”参数。因此，可以在虚功公式中引入一个项，它暗示了一种非保守现象。
为了定义所有材料刚度和耦合系数的演变，我们使用依赖于它们的贡献。特别地，对于每一个材料参数，我们可以定义生物势能为
（19）这可以解释为一种影响材料参数的重塑行为，是与这种进化相关的刺激因素(Giorgio et al. 2019)。假设重塑作用是刺激的线性函数，如下所示:
（20）式中表示将根据实验证据调整的机械生物学增益，是引入以设置稳态的参考刺激。实际刺激和参考刺激之间的差异给出了系统如何远离稳态的反馈，因此，驱动进化以恢复该功能点的操作。
最后，收集所有对刚度的贡献，我们假设
（21）与重定向演化类似，材料系数也引入了瑞利耗散函数，形式为:
（22)与相关的粘性系数。
在本节中，我们假设，独立于虚功原理，一组进化方程的生物机械刺激。
我们认为，一个独特的变分原理的假设是一个开放的、重要的问题，从这个变分原理可以推断出最后一种进化方程(见Barchiesi和Hamila 2022，第一次尝试，即使在一个稍微不同的背景下)。在这里，我们考虑刺激场(在我们的简化模型中，取决于材料颗粒和时间)作为描述骨组织中发生的机械引导重塑作用的建模工具。
我们假设由传感细胞(即骨细胞)获得的机械状态决定了这种刺激。这种刺激是生物制剂的激活剂，生物制剂可以重塑骨组织。作为传感器细胞获取的信息传递的主要途径，涉及旁分泌因子的作用，旁分泌因子是一种化学物质，通过扩散释放和传播，我们假设了一个扩散模型来描述刺激场的演变。
因此，对于每一个材料参数，我们假设对应刺激的演化为:
(23)式中为阻尼系数，扩散系数假定为常数，为确定性和可追踪性，因此为各向同性，为源项，为吸收函数。根据工作(Branecka et al. 2022)，其中不同材料系数的演变取决于与相同系数相关的能量贡献，这里我们将源项r设置为与相对于相同系数的能量密度比例成正比。例如，为了定义与(10)中的剪切系数相关的贡献，我们将其设置为二维公式
(24)为了简单起见，比例系数设为1。与扩散方程中通常的做法一样，汇项s与刺激本身成正比定义如下:
（25）与刺激相关的代谢活性相关的吸收系数为R。
摘要。
1 介绍
2 与骨功能相关的进化过程建模 最终适应
3 数值结果及讨论
4 结论
笔记
参考文献。
致谢。
作者信息
道德声明
# # # # #
通过数值模拟对所提出的模型进行了验证。特别地，我们考虑一个由骨小梁组织组成的矩形样本。在第一个测试中，我们分析了一个悬臂板在钳对面均匀分布的剪切力密度下(见图2)。第二个测试是一个三点弯曲测试，我们利用系统的对称性只检查了一半的试件(见图10)。由于我们的公式是变分的，所以测试的数值实现是直接在商业软件COMSOL Multiphysics中使用虚拟功(5)原理用有限元方法进行的。我们在Comsol中进行了模拟，以测试所提出的方法，因为它具有高度的灵活性和易用性。实际上，可以直接使用弱公式来实现控制方程。然而，软件的通用特性不允许针对所考虑的问题进行特定的代码优化。为了实现这一点，可以考虑实施等几何分析(Greco和Cuomo 2021;Greco等人，2021;Torabi和Niiranen 2024)或特别离散化(Turco等人，2016;Turco 2018, 2022)在模型开发的后续阶段。
模拟对象为mm尺寸的矩形域，初始材料刚度见表1。为简单起见，设第2梯度刚度为相等，即n。材料对称方向重定向的演化过程与刚度的相关系数如表2和表3所示。在这里，为了简单和易于处理，我们假设一些刚度的演变比其他刚度更重要，然后，我们忽略了这些最后改变其大小的适应过程。因此，我们考虑演化的刚度只有材料对称方向上的剪切模量和拉伸刚度，即和。最后，表4显示了为适应外部机械条件而假设的刚度所对应的刺激扩散方程中的系数。刺激的初始值被设置为零，诺伊曼边界条件规定刺激流消失以与外界绝缘。在下文中，在边界条件未指定的边界上，弱贡献或对偶被设为零，正如所采用的公式通常所做的那样。
在第一种情况下，我们进行了数值模拟，旨在再现典型悬臂系统布置下矩形骨组织板的行为。我们将左短边的位移矢量设为零，并及时对另一短边变量施加单位长度的均匀剪切力。力的初始瞬态设计是为了逐渐达到稳态状态，避免位移的突然变化可能引起一些相关的惯性效应。所施加的力的表达式为:
（26）其中为力的大小和瞬态的延伸。特别是，和。该值对应于所考虑的情况下应变能密度达到的稳态条件。
悬臂板弯曲试验装置
试验结果表明，初始均匀分布的刚度在需要的地方，即与之相关的能量贡献局部化的地方，其值有增大的趋势，在相同能量密度下降的地方，其值有减小的趋势。图3、图4和图5分别描述了、、和分布的演化变化，以及当前的最终变形。事实上，新骨组织的定位及其吸收被放置在预期的区域。
弯曲试验:载荷作用后的稳态分布
弯曲试验:载荷作用后的稳态分布
弯曲试验:载荷作用后的稳态分布
所提出的模型的另一个重要方面是材料对称方向可能发生演变，这在随后的三次步骤中显示(见图6):1)开始时，假设它们平行于矩形试件的两侧;2)处于中间阶段;在稳态条件下。
弯曲试验:弯曲悬臂试验材料对称方向的演变:(1)开始时;(二)处于中间阶段;(3)在稳态条件下
为了更好地理解这一结果的大小，我们考虑在过程结束时由这些材料对称方向产生的流线，并将它们与与应变张量的本特征方向相关的等静力线进行比较，如图7所示。
比较:a流线生成的单位矢量和;B)弯曲试验用等静力线
乍一看，它们似乎略有不同，但更定量的仔细比较表明，除了非常小的区域(绿色区域)外，它们几乎到处都是相同的，如图8所示。实际上，图8显示了与向量和相关的角度与应变的特征向量相关的角度之间的差异。从这个图中可以看出，这两个场在大部分域中都有相同的角度。因此，由于两个特征向量和两个材料对称场必须彼此正交，这意味着等静力方向和材料对称方向重合，并且至少它们在不同的地方交换了顺序，相应地与轨迹理论一致。
弯曲试验:应力矢量与特征矢量之间的夹角之差
图8中绿色区域角度的微小变化确实与两个矢量场之间的交换有关，这两个矢量场通过不同表示的区域，即一种过渡区。我们可以在图9中注意到，通过这个区域，相同的正交异性方向(图中用蓝色箭头和红色箭头表示)不再与应变张量的一个本征方向平行，而与另一个本征方向对齐，该本征方向相对于第一个本征方向旋转，同时正交异性对称的另一个方向也发生了相同的切换。
弯曲试验:对过渡区域的矢量(蓝色箭头)和矢量(红色箭头)进行放大
第二个案例是三点屈曲试验。在测试过程中，具有销钉的测试夹具与骨标本相互作用的效果用一个弹性势垒来模拟，该势垒阻止样品与销钉重叠。具体来说，我们使用无摩擦惩罚方法来模拟针和骨组织之间的接触。将试样放置在两个固定支撑销上，固定支撑销之间间隔为特定的跨度长度为mm。在试样中间放置第三个加载销，使骨组织按给定的时间规律从上面逐渐下降。在这里，我们使用与之前的测试相同的表达式，Eq.(26)，将剪切力的振幅替换为加载销的指定位移mm。由于问题的对称性，我们只考虑一半的矩形骨块对施加载荷的中间部分的位移施加对称条件，即。
三点弯曲试验装置
三点挠曲试验:施加载荷后在稳态下的分布
三点挠曲试验:施加载荷后在稳态下的分布
三点挠曲试验:施加载荷后在稳态下的分布
图11、图12、图13分别展示了、、和的分布演化变化情况以及当前的最终变形情况。正如预期的那样，与前面的情况类似，得到了反映所考虑的贡献的能量密度实际分布的刚度分布。
三点弯曲试验:材料对称方向的演变为弯曲悬臂试验:a在开始;B处于中间阶段;稳态条件下的C
图14显示了三个重要时刻材料对称方向随重塑过程的演变。它们的行为特征是它们与所考虑的特定测试的等静力线对齐，如图15所示，其中显示了由单位矢量和产生的流线以及等静力线。同样，它们的差异非常小，并且局限于狭窄的区域，其顺序的切换产生了差异，因此，这是一个表征问题，如图16所示。
比较:a流线生成的单位矢量和;B等静力线为三点弯曲试验
三点弯曲试验:应力矢量与特征矢量之间的夹角之差
骨骼重塑是骨骼在人的一生中不断自我更新的过程。它涉及到旧骨组织的溶解和吸收，通过再吸收矿化基质，分解胶原纤维，形成新的骨组织，以协调和控制的方式。出于几个原因，骨重塑是必不可少的。它允许骨骼在受伤或损伤后自我修复，有助于调节体内钙的含量，并在保持骨骼强度和完整性方面起着至关重要的作用。此外，它还允许骨适应应力和负荷随着时间的变化，因为新的骨组织以高度有组织的方式铺设并重塑以满足周围组织的需求。这一过程受到多种因素的影响，包括激素、饮食、衰老，主要是身体活动。这个过程非常复杂，我们还远远没有完全理解它的所有方面。然而，在本文中，我们提出了一个新的变分公式，通过利用外部载荷的力学影响，能够解释骨小梁中互连骨支柱网络重新排列的自适应过程，以及它们承受载荷的能力。力学模型基于广义连续统理论，其特征是材料的正位对称性，这对这种材料来说是完全合理的(Allena and Cluzel 2018;Cluzel and Allena 2018)。这种概括涉及到一些二次梯度效应，这些效应可能与骨密度稀薄的特定情况有关，并且小梁的晶格排列由非常薄且长且连接薄弱的支柱组成。明确地，我们假设了一个广义的虚功原理，假设了两个关键方面，一个与骨组织的力学行为有关，另一个涉及进化过程，允许在整个样本的宏观观察水平上改变小梁的方向及其厚度和长度。为了说明我们的建议的有效性，进行了两个数值试验。结果是有希望的和令人鼓舞的，因为它们使我们能够在更一般的情况下恢复骨重塑的典型优化过程。事实上，我们不仅能够获得所考虑的样品中可能的刚度分布，而且还能够获得与小梁实际排列有关的材料对称性的重新定向，正如我们有实验证据的轨迹理论所假设的那样。
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